Pada materi ini kita akan mempelajari bagaimana menemukan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut kemudian menggunakan rumus tersebut dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan jumlah dan selisih dua sudut.
Penguasaan materi perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku dan perbandingan trigonometri sudut berelasi akan sangat membantu dalam mempelajari materi ini.
Berikut beberapa sudut relasi yang digunakan :
sin (90° - θ) = cos θbi
cos (90° - θ) = sin θ
sin (180° - θ) = cos θ
cos (180° - θ) = -sin θ
sin (-θ) = -sin θ
cos (-θ) = cos θ
sin (α + β) dan sin (α - β)
Diberikan sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan. Titik P terletak pada lingkaran sehingga OP = 1.
∠ POS = α + β
∠ QOT = ∠ OQR = ∠ QPR = α
Untuk lebih detailnya, perhatikan diagram berikut.
Dari segitiga OPS diperoleh
sin (α + β) = PS
PS = RS + PR dan RS = QT, dapat kita tulis
PS = QT + PR, akibatnya
sin (α + β) = QT + PR .........................(1)
Dari segitiga OPQ diperoleh
PQ = sin β
OQ = cos β
Dari segitiga OQT dipeoleh
sin α =
Q
T
O
Q
QT = sin α . OQ
QT = sin α . cos β ..............................(2)
Dari segitiga PQR diperoleh
cos α =
P
R
P
Q
PR = cos α . PQ
PR = cos α . sin β ..............................(3)
Dari (1), (2) dan (3) kita dapatkan
sin (α + β) = QT + PR
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
Jika β diganti dengan -β, maka
sin (α + (-β)) = sin α cos (-β) + cos α sin (-β)
sin (α + (-β)) = sin α cos β + cos α (-sin β)
sin (α + (-β)) = sin α cos β - cos α sin β
Dari uraian diatas, kita peroleh rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk fungsi sinus sebagai berikut :
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β
Contoh 1
Tentukan nilai eksak dari sin 75°
Jawab :
sin 75° = sin (30° + 45°)
sin 75° = sin 30° cos 45° + cos 30° sin 45°
sin 75° = ½ . ½√2 + ½√3 . ½√2
sin 75° = ¼√2 + ¼√6
sin 75° = ¼(√2 + √6)
Komentar
Posting Komentar